Formulas básicas para la diferencial

El primer grupo de fórmulas corresponde a las "Básicas". Propiedades de los números reales, fracciones y la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

Propiedad Conmutativa de la Suma

                                                                    a+ b = b + a

Indica que al sumar dos o más números reales, no importa el orden en que sean sumados, el resultado será el mismo.

Ejemplo: 5+3=8      y      3+5= 8

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación

ab = ba

Indica que al multiplicar dos o más números reales, no importa el orden en que sean multiplicados, el resultado será el mismo.

Ejemplo: 5x3=15      y      3x5=15

Propiedad Asociativa de la Suma

(a+b) + c = a+ (b+c)

Indica que al sumar 3 ó más números reales, no importa como sean agrupados, el resultado será el mismo.

Ejemplo: 1+(2+3)=1+5=6      y      (1+2)+3=3+3=6

Propiedad Asociativa de la Multiplicación

(ab)c = a(bc)

Indica que al multiplicar 3 ó más números reales, no importa como sean agrupados, el resultado será el mismo.

Ejemplo: 4x(2x3)=4x6=24      y      (4x2)x3=8x3=24

Propiedad Distributiva

a(b+c) = ab+ ac

Indica que se puede convertir el producto de una suma en una suma de productos.
Ejemplo: 4x(2+3)=4x5=20      y      4x(2+3)=4x2+4x3=8+12=20

Interpretación geométrica de la diferencial

Supongamos que una función f(x) = x².

La gráfica de la función luciría de la siguiente forma:

Definicion de diferencial y su interpretación

El diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial dy queda definido por la expresión:

dy = f`(x) dx

Donde  f`(x) es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión:

dy = dy/dx . dx

Donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así se puede escribir

df(x) = f`(x) dx

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal al incremento de una función. En aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

Sentido de Concavidad

Se dice que una función y ´ = f(x) tiene convexidad hacia arriba en el intervalo (a, b) si una recta tangente dibujada a la grafica de la función en uno de sus puntos a ´ < x < b queda por debajo de la función. Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que la función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.

Puntos de Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

Máximos y mínimos

También conocidos como extremos de una función, son los valores mas grandes (máximos) o mas pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.

Derivadas trascendentales

Las  funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Son funciones trascendentales elementales las siguientes: 

Función exponencial: 

f(x)=a^x; a > 0, a ≠ 1.

Función logarítmica:

f(x)=log_a(x); a > 0, a ≠ 1. Es inversa de la exponencial.

Funciones trigonométricas

(También llamadas circulares):

f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x); f(x)=cosec(x); f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)

Derivadas sucesivas de una función

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'^v y así sucesivamente.

Derivada de una Suma, Producto, Cociente y Potencia.

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Derivada del producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una potencia

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

f(x) = x^k f'(x)= k · x^k−1

Interpretación Geométrica de la Derivada

Es la interpretación grafica de la derivada en un plano de coordenadas.

Ejemplo:

Reglas para calcular derivadas

El cálculo de la derivada de una función puede realizarse a partir de un conjunto de reglas fijas de aplicación sistemática. A la hora de derivar una función, se utilizan primero las propiedades generales de la derivación, para reducirla a una serie de funciones simples conocidas, cuyas derivadas se obtienen directamente a partir de una tabla.

Regla de los cuatro pasos

El proceso más general utilizado para la obtención de derivadas de funciones se denomina regla de los cuatro pasos. Dada una función f (x) continua y derivable, esta regla aplica las siguientes etapas:

·         Se determina: f (x + h).

·         Se calcula: f (x + h) - f (x).

·         Se obtiene el cociente incremental entre ambos términos:

·         Se calcula el límite de este cociente incremental cuando h tiende a cero:

Suma y diferencia de funciones

Dadas dos funciones u (x) y v (x) continuas y derivables, la derivada de la función suma (o diferencia) de las dos es igual a la suma (o diferencia) de sus derivadas.

Producto de una función por una constante

Dada una función f (x) continua y derivable y un número real l, la derivada del producto de ambos es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Dada una función:

Entonces la derivada será:

Producto de funciones

Dadas dos funciones continuas y derivables, la derivada del producto de las dos es igual a la derivada de la primera por la segunda, sin derivar, más la primera por la derivada de la segunda. Dada una función:

Entonces su derivada se calcula como:

Cociente de funciones

Dadas dos funciones continuas y derivables u (x) y v (x), donde la segunda es distinta de cero, la derivada del cociente de la primera por la segunda se determina con arreglo a la expresión dada a continuación.

Dada una función:

Se cumple que su derivada primera es:

Composición de funciones

Dada una función f (u) derivable con respecto a u, siendo u derivable con respecto a x, la derivada de la composición de funciones f [u(x)] con respecto a x es igual al producto de la derivada de f con respecto a u por la derivada de u con respecto a x.

Es decir, si

entonces se cumple que:

Este principio se conoce por regla de la cadena de la derivación de funciones compuestas.

Definición de la derivada de una función

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.

Derivada

·  Se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente. La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones.

LIMITES

INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES

Un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

Límite de una variable

La noción de una variable que se acerca a un límite se encuentra, en la geometría elemental, al establecer o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considera el área de un polígono regular inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone, después, que n crece infinitamente el área variable tiende así a un límite, y ese límite se define como el área del círculo. En este caso la variable v (área) aumenta indefinidamente, y la distancia a-v (siendo a el área del circulo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier número positivo escogido de antemano, sin importar el tamaño de éste que se haya escogido.

Límite de una función

Refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

Teoremas de límites

Teorema 1:

Lim. C=C

    X→a

Teorema 2:

Lim. X=a

    X→a

Teorema 3:

Lim. C  f(x) = C Lim. F(x)

    X→a              X→a

Teorema 4:

Lim. [ f(x) ± g(x) ] = Lim. f(x) + Lim. g(x)

    X→a                     X→a        X→a

Teorema 5:

Lim [f(x)]ⁿ

X→a

Teorema 6:

Lim. f(x) = f(a)

X→a

Teorema 7:

Lim. ⁿ√f(x) = Lim. ⁿ√Lim f(x)

X→a                    X→a

Limites por formas indeterminadas

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

                           

Funciones Algebraicas

Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.

Notación de Función

Es una manera de escribir funciones que aclaran el nombre de la función, de las variables independientes, de las variables dependientes, y de la regla de la transformación.

Concepto de Función

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

FUNCIONES Y LÍMITES

Una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r².

Límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.